今日の論理学:ウカシェヴィッツの古典論理批判・3値論理・排中律など

SQLのNULL的なやつ(ちょっと違うけど)

そんな風に人間の限界を無視して背理法も排中律も使い放題で数学やっていると、今に痛い目に合うぞ。(p283)

• 3値理論
  • 排中律¬A∨Aが必ず成り立つとは限らない(トートロジーではない)論理
• 真(1)・偽(0)・可能(0.5)
• ３値理論で成り立つトートロジーを3値トートロジーという
  • A→Aは3値トートロジー
  • ¬A∨Aは3値トートロジーではない

A	¬A
0	1
0.5	0.5
1	0

縦がA,横がBとする

A→B	B:0	B:0.5	B:1
A:0	1	1	1
A:0.5	0.5	1	1
A:1	0	0.5	1

※0.5→0.5が1なのは最初納得が行かなかったが、P→Pを3値トートロジーにするためらしい。

演習問題84

(1) A∨B,A∧B,A↔︎Bの３値真理値表を書け

A∨B	B:0	B:0.5	B:1
A:0	0	0.5	1
A:0.5	0.5	0.5	1
A:1	1	1	1

A∧B	B:0	B:0.5	B:1
A:0	0	0	0
A:0.5	0	0.5	0.5
A:1	0	0.5	1

A↔︎B	B:0	B:0.5	B:1
A:0	1	0.5	0
A:0.5	0.5	1	0.5
A:1	0	0.5	1

※A↔︎Bに納得が行ってない...

(2)A→B、¬A∨Bが3値理論で同値でないことを示せ

• A,B=0.5の時
  • A→B:1
  • ¬A∨B:0.5

(3)矛盾律¬(A∧¬A)が3値トートロジーではないことを示せ

A	¬(A∧¬A)
0	1
0.5	0.5
1	1

(4)２重否定率¬¬A→Aが３値トートロジーであることを示せ

A	¬¬A	¬¬A→A
0	0	1
0.5	0.5	1
1	1	1

(5)¬A↔︎Aは古典論理では矛盾式だが、3値理論では違うことを示せ

A=B=0.5の時¬A↔︎Aは0.5↔︎0.5となり1。つまり矛盾式ではない

• 排中律が成り立たないと背理法が使えない？
• A∧¬Aは自然言語的に考えれば矛盾式になるはず(?)
• "明日私のコンピュータは壊れ、しかも壊れない"⇨偽なはず
  • シュレディンガーの猫的な
    • 箱を開けるまで猫が死んでいるか生きているかわからない
    • 猫は死んでおり、かつ生きてる

次回はファジー論理をやります

論理学をつくる